Question

某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元（25≤x≤40），根据市场调查，销售量q与e^x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．
（Ⅰ）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；
（Ⅱ）若t=5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．

Answer 1

分析：（I）由条件“日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为

k

ex

，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．
（II）先对函数进行求导，求出极值点，讨论极值是否在25≤x≤40范围内，利用单调性求出函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）设日销量q=

k

ex

，则

k

e30

=100，∴k=100e³⁰，
∴日销量q=

100e30

ex

∴y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)．
（Ⅱ）当t=5时，y=

100e30(x-25)

ex

y′=

100e30(26-x)

ex

由y'≥0得x≤26，由y'≤0得x≥26∴y在[25，26]上单调递增，在[26，40]上单调递减．
∴当x=26时，y_max=100e⁴．当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e⁴元．

点评：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．