【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°.△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,且AC=1.将△ABD沿边AB折叠后,
(1)若二面角C—AB—D为直二面角,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为_______;
(2)若二面角C—AB—D的大小为150°,则线段CD的长为_______.
【答案】
【解析】
作出二面角的平面角.
(1)当二面角为直角时,判断出直线与平面所成的角,解直角三角形求得线面角的正切值.
(2)当二面角大小为时,结合余弦定理进行解三角形,由此求得的长.
依题意ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°.△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,且AC=1.所以,.设分别是的中点,所以,,所以是二面角的平面角,.
(1)当二面角为直角时,由于,根据面面垂直的性质定理可知平面,所以是直线img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/11/26/17/39a1a048/SYS202011261741258328971401_DA/SYS202011261741258328971401_DA.004.png" width="29" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />与平面所成的角.在中.
(2)当二面角大小为时,即,在三角形中,由余弦定理得.在三角形和三角形中,,由余弦定理得,,.
故答案为:(1). (2).
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【题目】双曲线的左、右焦点为,,为右支上的动点(非顶点),为的内心.当变化时,的轨迹为( )
A.直线的一部分B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分D.无法确定
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【题目】设关于的一元二次方程,其中是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求上述方程有实根的概率.
(1)若随机数;
(2)若是从区间中任取的一个数,是从区间中任取的一个数.
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【题目】已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列.
(1)若,求数列的前项和;
(2)若存在正整数,使得,试比较与的大小,并说明理由.
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【题目】一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为,当时, 符合条件的共有_____个.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:(a>b>0)的离心率为,且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)己知A,B分别为椭圆E的左、右顶点,过x轴上一点P(异于原点)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C,D两点,且直线AC与BD相交于点Q.①若k=1,求线段CD中点横坐标的取值范围;②判断是否为定值,并说明理由.
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【题目】设椭圆的左焦点为,下顶点为,上顶点为,是等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线,过点且斜率为的直线与椭圆交于点 异于点,线段的垂直平分线与直线交于点,与直线交于点,若.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)已知点,点在椭圆上,若四边形为平行四边形,求椭圆的方程.
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【题目】已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)斜率为的直线与抛物线交于、两点,点是线段的中点,求直线的方程,并求线段的长.
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