Question

已知中心在原点的双曲线C的离心率为

2 3

3

，一条准线方程为x=

3

2

（1）求双曲线C的标准方程
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

c

a

=

2 3

3

，

a2

c

=

3

2

，得a=

3

，c=2，由此能求出双曲线方程．
（2）由

y=kx+ 2 x2 3 -y2=1

，知(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0．由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)

=36（1-k²）=0，再由韦达定理结合题设条件进行求解．

解答：解：（1）∵

c

a

=

2 3

3

，

a2

c

=

3

2

，
∴a=

3

，c=2，
∴双曲线方程为

x2

3

-y2=1．（4分）
（2）

y=kx+ 2 x2 3 -y2=1

，
∴（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)

=36（1-k²）=0，
 即k²≠

1

3

，且k²＜1①（6分）
x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

-9

1-3k2

，
由

OA

•

OB

＞2，得x₁x₂+y₁y₂＞2，
而x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2)

=（k²+1）x₁x₂+

2

k(x1+x2)+2
=

3k2+7

3k2-1

．（8分）
于是

3k2+7

3k2-1

＞2，即

3k2-9

3k2-1

＜0，
∴

1

3

＜k2＜3，②（10分）
由①②得

1

3

＜k2＜1，
k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．