Question

A．若关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥a恒成立，则实数a的取值范围是

a≤4

．
B．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2

3

，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=

4

．
C．已知直线的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，则极点到这条直线的距离是

2

2

．

Answer 1

分析：A．利用不等式|x+m|+|x+n|≥|m-n|即可求出a的取值范围；
B．连接OC，利用切线的性质及直接三角形中的边角关系即可求出半径OC；
C．先将直线的极坐标方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可．

解答：解：A．∵关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥a恒成立?（|x+1|+|x-3|）_min≥a，而|x+1|+|x-3|≥|x+1-（x-3）|=4，∴实数a的取值范围是a≤4，
故答案为a≤4；
B．由题意作出图形：
连接OC，∵PC是圆O的切线，∴OC⊥PC，∠OCP=90°．
∵∠CAO=30°，OC=OA，∴∠COP=60°，∴∠CPO=30°．
在Rt△OCP中，OC=2

3

tan30°=2；∴直径AB=4，
故答案为4；
C．∵直线的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，则展开为

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=

2

2

，化为普通方程x+y-1=0，
则极点即原点到这条直线的距离d=

|0+0-1|

2

=

2

2

，
故答案为

2

2

．

点评：正确理解不等式|x+m|+|x+n|≥|m-n|、切线的性质、点到直线的距离公式是解题的关键．