Question

7．设n是大于3的自然数，且具有下列性质：把集合S_n={1，2，3，…，n}任意分为两组，总有某一个组，它含有一个数a，b，c（允许a=b），使得ab=c．求这样的n的最小值．

Answer 1

分析 可假设将集合S_n分成两个集合A，B，并且对于A，B都不含3个数a，b，c，使得ab=c，这样可设2∈A，这样可得出2⁴∈A，2²∈B，2³∈B，这样2⁵放在A，B中任意一个，都有ab=c，这便说明这样的n的最小值为2⁵．

解答 解：假设把集合S_n分成两组A，B；
设2∈A，且A，B中不含三个数a，b，c，满足ab=c，则：
∵是求最小的n，所以a=b时，求得的c才可能最小；
如果2²∈A则矛盾，那么2²∈B；
如果2⁴∈B则矛盾，那么2⁴∈A；
如果2³∈A则矛盾，那么2³∈B；
于是2⁵放哪都矛盾，故n=32；
即满足条件的n的最小值为32．

点评 考查列举法表示集合，以及元素与集合的关系，注意性质中的a=b的运用．