Question

（2007•奉贤区一模）已知函数 f（x）=log₃（3^x-1），
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证函数f（x）在（0，+∞）内单调递增．
（3）若f^-1（x）是函数f（x）的反函数，设F（x）=f^-1（2x）-f（x），求函数F（x）的最小值及对应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用真数大于0，结合指数函数的单调性可求；
（2）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．
（3）先求反函数，再表达出F（x）=f^-1（2x）-f（x），利用基本不等式可求函数的最小值．

解答：解：（1）函数 f（x）=log₃（3^x-1），得：3^x-1＞0，∴x＞0
∴f（x）的定义域 是（0，+∞）．
（2）设在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=log3

3x2-1

3x1-1

由y=3^x在定义域（0，+∞）内单调递增得：

3x2-1

3x1-1

＞ 1，∴log3

3x2-1

3x1-1

＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函数f（x）在（0，+∞）内单调递增（3分）
（3）由 f（x）=log₃（3^x-1），得：f^-1（x）=log₃（3^x+1），∴F（x）=f^-1（2x）-f（x）=log3

32x+1

3x-1

log3(3x-1+

2

3x-1

+2)≥log3(2

2

 +2)
当x=log3(

2

+1)时，F（x）最小值为log3(2

2

+2)

点评：本题的考点是函数的单调性德判断及证明，主要考查了反函数、函数的值域以及函数与不等式相综合的问题，考查函数与方程的综合运用，主要涉及了用单调性的定义证明函数的单调性以及构造函数研究函数的性质等问题，还考查了转化思想和构造转化函数的能力．