A.B两个班共有65名学生.为调查他们的引体向上锻炼情况.通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据.用茎叶图记录如下:(I) 试估计B班的学生人数,(II) 从A班和B班抽出的学生中.各随机选取一人.A班选出的人记为甲.B班选出的人记为乙.假设所有学生的测试相对独立.比较甲.乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定:当甲的测试数据比乙的测试数据� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：
（I）试估计B班的学生人数；
（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：
当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=-1，
当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，
当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．
求随机变量ξ的分布列及期望．
（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ₁，表格中数据的平均数记为μ₀，试判断μ₀和μ₁的大小（结论不要求证明）．

分析（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名．根据分层抽样方法，能求出B班的学生人数．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布列及期望．
（Ⅲ）利用数学期望的性质能求出μ₁＞μ₀．

解答（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名．
根据分层抽样方法，B班的学生人数估计为$65×\frac{7}{13}=35$（人）．…（3分）
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为-1，0，1，
$P（ξ=-1）=\frac{12}{6×7}=\frac{2}{7}$，
$P（ξ=0）=\frac{4}{6×7}=\frac{2}{21}$，
$P（ξ=1）=1-P（ξ=-1）-P（ξ=0）=\frac{13}{21}$，
则ξ的概率分布列为：

ξ	-1	0	1
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{13}{21}$

$Eξ=-1×\frac{2}{7}+0×\frac{2}{21}+1×\frac{13}{21}=\frac{1}{3}$．…（11分）
（Ⅲ）μ₁＞μ₀．…（13分）

点评本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．

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