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如图,在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l上设立了A、B两个报名点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元.
(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问中转点D距离A处多远时,S最小?

【答案】分析:(1)由题在△ACD中,由余弦定理求得CD、AD的值,即可求得运输成本S的解析式.
(2)利用导数求得cosα=时,函数S取得极小值,由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值.
解答:解:(1)由题在△ACD中,∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=,∠CDA=α,∴∠ACD=-α.
又AB=BC=CA=10,△ACD中,
由正弦定理知,得,…(3分)

=.…(7分)
(2),令S′=0,得.…(10分)
时,S′<0;当时,S′>0,∴当时S取得最小值.…(12分)
此时,
∴中转站距A处千米时,运输成本S最小.…(14分)
点评:本题主要考查正弦定理,利用导数研究函数的单调性,由函数的单调性求极值,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道AB的长为4.5km,且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60°(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC=4
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km.D为海湾一侧海岸线CT上的一点,设CD=x(km),点D对跑道AB的视角为θ.
(1)将tanθ 表示为x的函数;
(2)求点D的位置,使θ取得最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•盐城二模)如图,在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l上设立了A、B两个报名点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元.
(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问中转点D距离A处多远时,S最小?

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l上设立了A、B两个报名点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元.
(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问中转点D距离A处多远时,S最小?

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科目:高中数学 来源:2010年数学之友高考数学模拟试卷(解析版) 题型:解答题

如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道AB的长为4.5km,且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离. D为海湾一侧海岸线CT上的一点,设CD=x(km),点D对跑道AB的视角为θ.
(Ⅰ)将tanθ表示为x的函数;
(Ⅱ)求点D的位置,使θ取得最大值.

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