Question

4．已知函数f（x）=$\frac{a^x}{{{a^x}+\sqrt{a}}}$（a＞0），若x₁+x₂=1，则f（x₁）+f（x₂）=1_，并求出$f（\frac{1}{2016}）+…f（\frac{2015}{2016}）$=$\frac{2015}{2}$．

Answer 1

分析 由函数f（x）=$\frac{a^x}{{{a^x}+\sqrt{a}}}$（a＞0），x₁+x₂=1，求出f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁）=1，从而$f（\frac{1}{2016}）+…f（\frac{2015}{2016}）$=1007+f（$\frac{1}{2}$），由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{a^x}{{{a^x}+\sqrt{a}}}$（a＞0），x₁+x₂=1，
∴f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁）
=$\frac{{a}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{1}}+\sqrt{a}}$+$\frac{{a}^{1-{x}_{1}}}{{a}^{1-{x}_{1}}+\sqrt{a}}$
=$\frac{{a}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{1}}+\sqrt{a}}$+$\frac{a}{a+\sqrt{a}•{a}^{{x}_{1}}}$
=$\frac{{a}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{1}}+\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+{a}^{{x}_{1}}}$=1，
∴$f（\frac{1}{2016}）+…f（\frac{2015}{2016}）$=1007+f（$\frac{1}{2}$）=1007+$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}$=$\frac{2015}{2}$．
故答案为：1，$\frac{2015}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．