Question

高三年级在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分．按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格．为了解学生在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据．该班共有60名学生，得到如下的列联表．

（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）如果想了解全年级学生该维度的表现情况，采取简单随机抽样的方式在全校学生中抽取少数一部分人来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由；
（4）学生代表、教师代表、家长代表、教务员四人，分别对测评结果是优秀的20名学生进行检查，检查他们是否躲优秀的相4名检查人员各自纖立的舰20学生中随机抽取一名，设其中男生的人数为随机变量x，求随机变量x的分布列期望．

Answer 1

分析：（1）提出统计假设：性别与测评结果没有关系，则K2=

60×(6×18-22×14)2

40×20×32×28

=3.348＞2.706，由P（K²＞2.706）=0.10，知在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测试结果有关系”．
（2）因性别很有可能对是否优秀有影响，故采用分层抽样按男女生必抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度总体表现情况会比较符合实际情况；
（3）四名抽查人员，从20名学生中随即抽取一名是男生的概率是P=

3

10

，随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，4．由随机变量X服从二项分布X：B（4，

3

10

），能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答：解：（1）提出统计假设：性别与测评结果没有关系，则
K2=

60×(6×18-22×14)2

40×20×32×28

=3.348＞2.706，
P（K²＞2.706）=0.10，
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测试结果有关系”．
（2）有（1）可知性别很有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生必烈抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度总体表现情况会比较符合实际情况；
（3）四名抽查人员，从20名学生中随即抽取一名是男生的概率是P=

3

10

，随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，4．
∴P(X=0)= 

C

0 4

(

3

10

)0(

7

10

)4=(

7

10

)4，P(X=1)=

C

1 4

(

3

10

)1(

7

10

)3=

12×73

104

，
P(X=2)=

C

2 4

(

3

10

)2(

7

10

)2=

6×32×72

104

，
P（X=3）=

C

3 4

(

3

10

)3(

7

10

)1，
p（X=4）=

C

4 4

(

3

10

)4，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	( 7 10 )4	C 1 4  ( 3 10 )( 7 10 )3	C 2 4 ( 3 10 )2( 7 10 )2	C 3 4 ( 3 10 )3( 7 10 )	C 4 4 ( 3 10 )4

∵随机变量X服从二项分布X：B（4，

3

10

）
∴EX=np=4×

3

10

=

6

5

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要注意随机变量X服从二项分布X：B（4，

3

10

），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．