Question

设F₁、F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₁且斜率为k的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列．
（1）若a=1，求|AB|的值；
（2）若k=1，设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），左焦点（-c，0），则直线l：y=x+c，由题意得
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，由椭圆的性质能导出|AB|+2|AB|=4a，再由a=1，能求出|AB|的值．
（2）由PA=PB，知（x₁+1）²+y₁²=（x₂+1）²+yy₂²，所以（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．把y=x+c代入，得（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+[（x₁+c）-（x₂+c）][（x₁+c）+（x₂+c）]=0，从而导出（-

2a2c

2a2-c2

）+1+c=0，再由e=

c

a

=

2

2

，能推导出椭圆方程．

解答：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），左焦点（-c，0），
则直线l：y=x+c
由题意得
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，
∵|AF₁|+|AF₂|=2a，①
|BF₁|+|BF₂|=2a，②
①+②得
（|AF₁|+|BF₁|）+（|AF₂|+|BF₂|）=4a，
即|AB|+2|AB|=4a，
∵a=1，
∴|AB|=

4a

3

=

4

3

．
（2）∵PA=PB，
∴（x₁+1）²+y₁²=（x₂+1）²+yy₂²，
∴（x₁+1）²-（x₂+1）²+y₁²-y₂²=0
（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0    
把y=x+c代入，得
（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+[（x₁+c）-（x₂+c）][（x₁+c）+（x₂+c）]=0，
（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+（x₁-x₂）（x₁+x₂+2c）=0
（x₁-x₂）[2（x₁+x₂）+2+2c]=0
∵x₁≠x₂，即x₁-x2≠0
∴2（x₁+x₂）+2+2c=0
∴x₁+x₂+1+c=0
即（-

2a2c

2a2-c2

）+1+c=0，
∵e=

c

a

=

2

2

，即a²=2c²
代入上式，得
c=3
∴a²=18，b²=9
椭圆方程为

x2

18

+

y2

9

=1．

点评：本题考查数列与解析几何的综合应用，难度大，较繁琐，易出错．通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过数列与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．