Question

13．一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$．

Answer 1

分析 根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件$\overline{A}$为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件$\overline{A}$构成的区域面积，由几何概型可得P（$\overline{A}$），进而由对立事件的概率性质，可得答案．

解答 解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件$\overline{A}$为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，
边长为4的等边三角形的面积为S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=4$\sqrt{3}$，
则事件$\overline{A}$构成的区域面积为S（$\overline{A}$）=3×$\frac{π}{3}$×$\frac{1}{2π}$×π×1²=$\frac{π}{2}$，
由几何概型的概率公式得P（$\overline{A}$）=$\frac{\frac{π}{2}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}π}{24}$；
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$；
故答案为：1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$．

点评 本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质；解题的关键是计算此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1图形的面积．