Question

13．已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是公比大于零的等比数列，且a₁=b₁=2，a₃=b₃=8
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）求{a_nb_n}前n项和S_n
（3）记c_n=$\frac{n+2}{n（n+1）{b}_{n}}$，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列与等比数列的概念即可分别求出公差与公比，从而求出通项公式；
（2）${a}_{n}{b}_{n}=（3n-1）•{2}^{n}$，利用错位相减即可求出前n项和；
（3）${c}_{n}=\frac{n+2}{n（n+1）{2}^{n}}=\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，利用裂项相消即可求出前n项和．

解答 解：（1）∵a₃=a₁+2d=8，a₁=2，∴d=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，
∵${b}_{3}={b}_{1}{q}^{2}=8，{b}_{1}=2$，
又∵q＞0，∴q=2，
∴${b}_{n}={2}^{n}$；
（2）∵${S}_{n}=2×2+5×{2}^{2}+8×{2}^{3}+…+（3n-1）•{2}^{n}$，
∴$2{S}_{n}=2×{2}^{2}+5×{2}^{3}+…+（3n-4）•{2}^{n}+（3n-1）•{2}^{n+1}$，
∴$-{S}_{n}=2×2+3×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+3×{2}^{n}-$（3n-1）•2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2-（3n-1）•2ⁿ⁺¹
=$3×\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-2-（3n-1）•{2}^{n+1}$
=（4-3n）•2ⁿ⁺¹-8
∴${S}_{n}=（3n-4）•{2}^{n+1}+8$；
（3）∵${c}_{n}=\frac{n+2}{n（n+1）{b}_{n}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）{2}^{n}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$
∴${T}_{n}=（1-\frac{1}{2×2}）+（\frac{1}{2×2}-\frac{1}{3×{2}^{2}}）+$$（\frac{1}{3×{2}^{2}}-\frac{1}{4×{2}^{3}}）+$…+$（\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）$
=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$

点评 本题考察了等差数列与等比数列的概念，以及利用错位相减和裂项相消法求特殊数列的前n项和，属于中档题．