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2.已知f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π),求则函数f(x)的各极小值之和为-$\frac{{e}^{2π}(1-{e}^{2014π})}{1-{e}^{2π}}$.

分析 先求f′(x)=2exsinx,这样即可得到f(2π),f(4π),f(6π),…,f(2014π)为f(x)的极小值,并且构成以-e为首项,e为公比的等比数列,根据等比数列的求和公式求f(x)的各极小值之和即可.

解答 解:f′(x)=2exsinx;
x∈(2kπ,2kπ+π)时,f′(x)>0,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f′(x)<0,其中0≤k≤1007,且k∈N*
∴f(2kπ)=-e2kπ是f(x)的极小值;
∴函数f(x)的各极小值之和为-(e+e+e+…+e2012π+e2014π)=-$\frac{{e}^{2π}(1-{e}^{2014π})}{1-{e}^{2π}}$,
故答案为:-$\frac{{e}^{2π}(1-{e}^{2014π})}{1-{e}^{2π}}$.

点评 考查极大值的定义,正弦、余弦,和积的导数的求导公式,以及等比数列的概念,等比数列的求和公式,属于中档题.

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