Question

在(2x2-

1

3 x

)8的展开式中．
求：
（1）第5项的二项式系数；
（2）第5项的系数；
（3）倒数第3项；
（4）含x⁹的项．

Answer 1

分析：（1）先求出二项式展开式的通项公式，在通项公式中，令r=4即可得到第5项的二项式系数

C

4 8

，运算求得结果．
（2）在通项公式中，令r=4，求出未知数x的系数，即为所求．
（3）倒数第3项即为第7项，在通项公式中，令r=6，即可求出倒数第3项T6+1=

C

6 8

(2x2)2(-

1

3 x

)6，运算求得结果．
（4）在通项公式中，令x的幂指数等于9，解得 r的值，即可求得含x⁹的项．

解答：解：（1）由于 (2x2-

1

3 x

)8的展开式的通项公式为 T_r+1=

C r 8 (2x2)8-r(- 1 3 x )r= C r 8 (-1)r28-rx16- 7r 3

，
在通项公式中，令r=4即可得到第5项的二项式系数为

C

4 8

=70．
（2）在通项公式中，令r=4，求出未知数x的系数，即为所求，故第5项的系数为

C

4 8

24(-1)4=1120，
（3）倒数第3项即为第7项，在通项公式中，令r=6，即可求出倒数第3项 T6+1=

C

6 8

(2x2)2(-

1

3 x

)6=112x2．
（4）在通项公式

Tr+1= C r 8 (2x2)8-r(- 1 3 x )r= C r 8 (-1)r28-rx16- 7r 3

中，令x的幂指数 16-

7r

3

=9，解得 r=3．
故含x⁹的项为 T₄=

C

3 8

 （-1）³ x⁹=-179 x⁹．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．