Question

2．已知正数x，y满足x+2y=2，则$\frac{1}{y}$+$\frac{8}{x}$的最小值为9．

Answer 1

分析 整体代入可得$\frac{1}{y}$+$\frac{8}{x}$=$\frac{1}{2}$（x+2y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{8}{x}$）=$\frac{1}{2}$（10+$\frac{16y}{x}$+$\frac{x}{y}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵正数x，y满足x+2y=2，
∴$\frac{1}{y}$+$\frac{8}{x}$=$\frac{1}{2}$（x+2y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{8}{x}$）
=$\frac{1}{2}$（10+$\frac{16y}{x}$+$\frac{x}{y}$）≥$\frac{1}{2}$（10+2$\sqrt{\frac{16y}{x}•\frac{x}{y}}$）=9
当且仅当$\frac{16y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=$\frac{4}{3}$且y=$\frac{1}{3}$时取等号．
故答案为：9

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．