Question

设二元一次不等式组

x≥2 y≥1 x+2y-6≤0

所表示的平面区域为M．若曲线x²-my²=1总经过区域M，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  3

  4

  ）
• B、[15，+∞）
• C、（

  3

  4

  ，15）
• D、[

  3

  4

  ，15]

Answer 1

分析：由于题目中给的曲线的方程中含有参数，故可选对参数m进行分类讨论，以确定曲线的方程，判断曲线的图象是椭圆、直线、圆还是双曲线，再根据对应曲线的性质，进行解答．

解答：解：当m＜0且m≠-1时，
曲线为椭圆，则不经过区域M；
当m=-1时，
曲线为以原点为圆心，1为半径的圆，不经过区域M
当m=0时，x=±1，不经过区域M
当m＞0时，
曲线为焦点在x轴上的双曲线，若总经过区域M，
则有4-4m=1解得m=

3

4

故离心率e12=

7

3

有16-m=1解得m=15故离心率e22=

16

15

根据双曲线的性质可得：e₂²≤e²≤e₁²
即有

16

15

≤1+

1

m

≤

7

3

所以

3

4

≤m≤15
故答案选D

点评：曲线mx²+ny²=1表示的图象形状受m，n取值的影响：①若m＞n＞0，则表示一条焦点在Y轴上的椭圆②若n＞m＞0，则表示一条焦点在X轴上的椭圆③若m=n＞0，则表示一个圆④若m＞0＞n，则表示一条焦点在X轴上的双曲线⑤若n＞0＞m，则表示一条焦点在Y轴上的双曲线．