Question

如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为l的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．

（I）证明：直线MN∥平面OCD．

（II）求异面直线AB与MD所成角的大小．

（III）求点B到平面OCD的距离．

Answer 1

解：方法一（综合法）

（Ⅰ）取OB中点E，连接ME，NE；∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD，∴MN∥平面OCD。

（Ⅱ）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）

作AP⊥CD于点P，连接MP。

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP。∵∠ADP=，∴DP=。∵MD=，∴，∠MDC=∠MDP=

所以，AB与MD所成角的大小为

（Ⅲ）∵AB∥平面OCD，∴点B和点A到平面OCD的距离相等。

连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q

∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离。

∵，AP=DP=，∴

所以，点B到平面OCD的距离为

方法二（向量法）：

作AP⊥CD于点P。如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x, y, z轴建立直角坐标系。

A（0，0，0）， B（1，0，0），P（0，，0），D（，O（0，0，2），

M（0，0，1），  N（1-

（Ⅰ）.

设平面OCD的法向量为=（x, y, z），则

即

取z=,解得∵,

∴MN∥平面OCD

（Ⅱ）设AB与MD所成角为,∵

∴,∴.

AB与MD所成角的大小为

（Ⅲ）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值。由，得

所以，点B到平面OCD的距离为。