Question

【题目】已知椭圆C：（a>b>0）的上、下、左、右四个顶点分别为A，B，C，D，x轴正半轴上的点P满足|PA|=|PD|=2，|PC|=4。

（I）求椭圆C的标准方程以及点P的坐标；

（II）过点P作直线l交椭圆C于点M，N，是否存在这样的直线l使得△MNA和△MND的面积相等？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由；

（III）在（II）的条件下，求当直线l的倾斜角为钝角时△MND的面积。

Answer 1

【答案】（1），P点坐标为（1，0）.（2）y=（x-1）或y=（x-1）.（3）

【解析】

试题（1）设点P的坐标,表示条件，解方程组可得a=3，x0=1，b=.（2）先将条件转化为点A，D到直线l的距离相等. 再根据点到直线距离公式解直线斜率，即得直线l的方程，(3)将直线方程代人椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求底边边长，再根据点到直线距离公式求高，最后代人面积公式求面积.

试题解析：解：（I）设点P的坐标为（x0，0）（x0>0），易知2a=2+4，a=3，

x0=4-a=1，b=.

因此椭圆标准方程为，P点坐标为（1，0）.

（II）设直线l：y=k（x-1）.

由△MNA与△MND的面积相等，则点A，D到直线l的距离相等.

所以，解得k=或k=.

所以直线l的方程为y=（x-1）或y=（x-1）.

（Ⅲ）若直线l倾斜角为钝角，即k=，此时方程为y=（x-1）.

与椭圆方程联立消x得。

设M，N坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则有y1+y2=，y1y2=.

所以△MND的面积

S=|PD|·|y1-y2|=×2×=。

故所求△MND的面积为.