Question

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）；
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）设a＞0，问是否存在x0∈(-1，

a

3

)，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别求出y=f（x）和y=g（x）的极值点，根据条件建立等量关系，解方程即可；
（2）假设存在，即存在x∈（-1，

a

3

），使得f（x）-g（x）＞0，只需研究f（x）-g（x）的符号，讨论对称轴与区间的位置关系即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
则f′（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，得x=a或

a

3

，
而g（x）在x=

a-1

2

处有极大值，
∴

a-1

2

=a?a=-1，或

a-1

2

=

a

3

?a=3；
综上：a=3或a=-1．
（2）假设存在，即存在x∈（-1，

a

3

），
使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
当x∈（-1，

a

3

）时，又a＞0，故x-a＜0，
则存在x∈（-1，

a

3

），使得x²+（1-a）x+1＜0，
1°当

a-1

2

＞

a

3

即a＞3时，(

a

3

)2+(1-a)

a

3

+1＜0得a＞3或a＜-

3

2

，
∴a＞3；
2°当-1≤

a-1

2

≤

a

3

即0＜a≤3时，

4-(a-1)2

4

＜0得a＜-1或a＞3，
∴a无解；综上：a＞3．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数零点的判定定理，属于基础题．