Question

记关于x的不等式（x-a）（x+1）≤0的解集为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q．
（1）若a=3，求集合P；
（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=3时，不等式即（x-3）（x+1）≤0，求得此不等式的解集P．
（2）先求得Q={x|0≤x≤2}，经过检验，当a=-1，或a＜-1时，分别求得P，都不满足Q⊆P．当a＞-1时，求出P，由Q⊆P可得a≥2，即得所求a的范围．

解答：解：（1）当a=3时，不等式即（x-3）（x+1）≤0，解得-1≤x≤3，故此不等式的解集P={x|-1≤x≤3}．
（2）解不不等式|x-1|≤1可得-1≤x-1≤1，即 0≤x≤2，故Q={x|0≤x≤2}．
由不等式（x-a）（x+1）≤0，可得当a=-1时，P=∅，不满足Q⊆P；
当a＜-1时，求得P={x|a≤x≤-1}，由Q={x|0≤x≤2}，可得不满足Q⊆P；
当a＞-1时，P={x|a≥x≥-1}，由Q⊆P，可得a≥2，故a的范围是[2，+∞）．

点评：本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．