Question

已知异面直线l₁和l₂，l₁⊥l₂，MN是l₁和l₂的公垂线，MN = 4，A∈l₁，B∈l₂，AM = BN = 2，O是MN中点．① 求l₁与OB的成角．②求A点到OB距离．

Answer 1

解析:

本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了．

（1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标在图中．

OB在底面上射影NB⊥CD，由三垂线定理，OB⊥CD，又CD∥MA，

∴ OB⊥MA 即OB与l₁成90°

（2）连结BO并延长交上底面于E点．

∥

ME = BN，

∴ ME = 2，又 ON = 2

∴ ．

作AQ⊥BE，连结MQ．

对于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得MQ⊥EO．

在Rt△MEO中，．

评述：又在Rt△AMQ中，，本题通过补形法使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的距离，仍然是利用直线与平面垂直的关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的．