Question

1．已知函数f（x）=3^ax+b的图象经过点A（1，3），记递增数列{a_n}满足a_n=log₃f（n）（n∈N^*），数列{a_n}的第1项，第2项，第5项成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过将点A（1，3）代入f（x）=3^ax+b可知b=1-a，进而a_n=log₃f（n）=（n-1）a+1，利用a₁、a₂、a₅成等比数列可知a=2，进而可得结论；
（2）通过a_n=2n-1可知b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法可知T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，记t_n=$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，再利用错位相减法可知f（n）=t₁+t₂+…+t_n=7-$\frac{2n+7}{{2}^{n}}$，进而计算即得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3^ax+b的图象经过点A（1，3），
∴f（1）=3^a+b=3，∴b=1-a，
又∵递增数列{a_n}满足a_n=log₃f（n）（n∈N^*），
∴a_n=log₃f（n）=log₃3^an+（1-a）=（n-1）a+1，
∵a₁、a₂、a₅成等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁•a₅，
即（a+1）²=1•（4a+1），
解得a=2或a=0（舍），
∴b=-2，
∴数列{a_n}的通项a_n=2（n-1）+1=2n-1；
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=$\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
记t_n=$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，则
f（n）=t₁+t₂+…+t_n=5•$\frac{1}{2}$+7•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n+3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$f（n）=5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+7•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n+3）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$f（n）=5•$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n+3）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=5•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+3）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{7}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴f（n）=7-$\frac{2n+7}{{2}^{n}}$，
∴T_n的前n项和Q_n=T₁+T₂+…+T_n
=3n-f（n）
=3n-（7-$\frac{2n+7}{{2}^{n}}$）
=$\frac{2n+7}{{2}^{n}}$+3n-7．

点评 本题是一道关于数列与函数的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．