分析 (Ⅰ)设$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=λ(λ≠0)$,代入点($\sqrt{3},2\sqrt{2}$),解得$λ=-\frac{1}{6}$,可得双曲线的标准方程.
(Ⅱ)设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),求出M点的坐标为($\sqrt{2}$,$\frac{b^2}{a}$),利用O、C、M三点共线,求出a,b,即可求此椭圆的标准方程.
解答 解:(Ⅰ)设$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=λ(λ≠0)$,代入点($\sqrt{3},2\sqrt{2}$),解得$λ=-\frac{1}{6}$
∴$\frac{{3{y^2}}}{8}-\frac{{2{x^2}}}{3}=1$ ….(6分)
(Ⅱ)设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),则A(a,0),B(0,b),C($\frac{a}{2}$,$\frac{b}{2}$),F(c,0)
依题意得c=$\sqrt{2}$,即a2-b2=2.
又MF⊥OA,则FM所在的直线方程是x=$\sqrt{2}$,代入椭圆方程得y=±$\frac{b^2}{a}$,所以M点的坐标为($\sqrt{2}$,$\frac{b^2}{a}$)
由于O、C、M三点共线,所以$\frac{{\frac{b^2}{a}}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}}$,即$b=\sqrt{2}$,所以a2=4,b2=2.
所以所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$. ….(12分)
点评 本题考查双曲线、椭圆的标准方程,考查待定系数法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4$\sqrt{2}$ | B. | 3$\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 5$\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$ | B. | 2 | C. | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | D. | $\frac{5}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1:1 | B. | $\sqrt{2}$:1 | C. | $\sqrt{2}$:2 | D. | 1:2 |
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