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精英家教网如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处,今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,同时以每10分钟一格的速度分别向N,M处行走,直到到达N,M为止.
(1)求甲经过A2的概率;
(2)求甲、乙两人相遇经A2点的概率;
(3)求甲、乙两人相遇的概率.
分析:(1)本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是C63,满足条件的事件是甲经过A2到达N,可分为两步:甲从M经过A2的方法数C31种;甲从A2到N的方法数C31种;根据分步计数原理得到结果数,求出概率.
(2)本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件数是C63C63,甲经过A2的方法数为(C312;乙经过A2的方法数也为(C312,得到甲、乙两人相遇经A2点的方法数为(C314,根据概率公式得到结果.
(3)甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在A1、A2、A3、A4处相遇,他们在Ai(i=1,2,3,4)相遇的走法有(C3i-14种方法,根据分类计数原理得到结果数,求得概率.
解答:解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
试验发生包含的事件
满足条件的事件是甲经过A2到达N,
可分为两步:
第一步:甲从M经过A2的方法数:C31种;
第二步:甲从A2到N的方法数:C31种;
∴甲经过A2的方法数为(C312
∴甲经过A2的概率P=
(
C
1
3
)
2
C
3
6
=
9
20


(2)由(1)知:甲经过A2的方法数为:(C312
乙经过A2的方法数也为:(C312
∴甲、乙两人相遇经A2点的方法数为:(C314=81;
∴甲、乙两人相遇经A2点的概率P=
(
C
1
3
)
4
C
3
6
C
3
6
=
81
400


(3)甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在A1、A2、A3、A4处相遇,
他们在Ai(i=1,2,3,4)相遇的走法有(C3i-14种方法;
∴(C304+(C314+(C324+(C334=164
∴甲、乙两人相遇的概率P=
164
400
=
41
100
点评:本题考查等可能事件的概率,考查分类计数原理,考查分步计数原理,是一个综合题,注意题目中出现的对两个人相遇的理解.
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(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率;
(3)求甲、乙两人相遇的概率.

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(2)求甲、乙两人相遇经A2点的概率;
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