Question

【题目】已知直线l：y=ax+1﹣a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=﹣2|x﹣1|；②y=x2；③（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有（ ）
A.①④
B.②③
C.②④
D.②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由直线y=ax+1﹣a，可知此直线过点A（1，1），y=﹣2|x﹣1|= ，
如图所示，直线l与函数y=﹣2|x﹣1|的图象只能由一个交点，故不是“绝对函数”；
②y=x2与l：y=ax+1﹣a联立 解得 或 ，
此两个交点的距离 =|a|，化为（a﹣2）2（1+a2）﹣a2=0，
令f（a）=（a﹣2）2（1+a2）﹣a2 ， 则f（1）=2﹣1=1＞0，f（2）=0﹣4＜0，因此函数f（a）在区间（1，2）内存在零点，即方程（a﹣2）2（1+a2）﹣a2=0，有解．
故此函数是“绝对函数”；
③（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2，∴存在a=±2满足条件，故此函数是“绝对函数”；
④把直线y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0，
∴ ， ．
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则 = ，
化为 ，
令f（a）= ，而f（1）= ，f（3）= ．
∴函数f（a）在区间（1，3）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，而直线l过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时，直线满足条件，即此函数是“绝对函数”．
综上可知：能满足题意的曲线有②③④．
故选D．