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11.函数f(x)=lnx-ax+1(a为实常数)在x=1处的切线与直线y=2016平行.
(1)求a的值;   
(2)求f(x)的单调区间;
(3)证明当x∈(1,+∞)时,1<$\frac{x-1}{lnx}$<x.

分析 (1)求出函数的导数,得到f′(1)=0,解出即可;(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(3))由题意可得即证lnx<x-1<xlnx.运用(1)的单调性可得lnx<x-1,设F(x)=xlnx-x+1,x>1,求出单调性,即可得到x-1<xlnx成立.

解答 解:(1)∵f(x)=lnx-ax+1,x>0,
∴${f^'}(x)=\frac{1}{x}-a$,
若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=2016平行,
即切线的斜率是0,
则f′(1)=1-a=0,则a=1;
(2)由(1)知f(x)=lnx-x+1,f(x)的定义域为(0,+∞),
${f^'}(x)=\frac{1}{x}-1$,令f′(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,+∞);
(3)证明:当x∈(1,+∞)时,1<$\frac{x-1}{lnx}$<x,即为lnx<x-1<xlnx.
由(2)可得f(x)=lnx-x+1在(1,+∞)递减,
可得f(x)<f(1)=0,即有lnx<x-1;
设F(x)=xlnx-x+1,x>1,F′(x)=1+lnx-1=lnx,
当x>1时,F′(x)>0,可得F(x)递增,即有F(x)>F(1)=0,
即有xlnx>x-1,则原不等式成立.

点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查不等式的证明,注意运用构造函数法,求出导数判断单调性,考查推理和运算能力,属于中档题.

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