Question

如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，若使两个三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的平面角的正切值；
（Ⅲ）求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

（Ⅰ）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC
∴BD⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥BC 又AC⊥AB，BD∩AB=B，
∴AC⊥平面ABD 又AC?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD．
（Ⅱ）取BC中点E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理知AF⊥CD


则∠EFA为二面角的平面角
∵△EFC∽△DBC，∴

EF

BD

=

CF

CD

，
∴EF=

3

2

，又AE=3，
∴tan∠EFA=

AE

EF

=2
∴二面角的平面角的正切值为2
（Ⅲ）过点E作EM⊥AF，垂足为M，则EM⊥平面ACD
设点B到平面ACD的距离为h
∵E是BC的中点
∴h=2EM
而EM=

EF•AE

AF

=

3 5

5

∴h=

6 5

5