Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设：

2

bn

=

1

an

+1，求数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，取倒数，可得数列{

1

an

}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此可求数列的通项；
（2）确定数列的通项，利用裂项法，可求数列的和．

解答：解：（1）∵a_n+1=

an

2an+1

，∴

1

an+1

-

1

an

=2
∵a₁=1，∴

1

a1

=1
∴数列{

1

an

}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，
∴an=

1

2n-1

；
（2）∵

2

bn

=

1

an

+1，∴

2

bn

=2n，∴bn=

1

n

∴b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，正确运用求和公式是关键．