Question

已知是椭圆E：的两个焦点，抛物线的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝上到焦点F₁，F₂距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，

（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，过点的动直线交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)(2)AB为直径的圆恒过这个定点(0,1).

试题分析：(1)求出抛物线的焦点得到椭圆的两个焦点(即C值),求其中一个焦点关于直线的对称点，再利用点点之间直线距离最短求出直线y＝上到焦点F₁，F₂距离之和最小的点P的坐标（即为对称点与另一个焦点连线与直线y＝的交点）,即得椭圆上一点的坐标,便可求出a,b,c得到椭圆的标准方程.
(2)直线的斜率为k,通过联立方程式,韦达定理等用斜率k来建立圆的方程,进而判断关于参数k的圆是否经过定点(即是否有相应点的坐标使得参数k的系数为0即可)
试题解析：
（1）由抛物线的焦点可得：，点关于直线的对称点为
故，因此，椭圆方程为
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。
当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为：  ①
当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为： ②
由①②知定点M。下证：以AB为直径的圆恒过定点M。设直线，代入，有。设，则。
则，

在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点.