Question

10．命题：
（1）一直线上有两点到同一平面的距离相等说明直线与平面平行；
（2）与同一直线所成角相等的两平面平行；
（3）与两两异面的三直线都相交的直线有无数条；
（4）四面体的四个面都可能是直角三角形；
以上命题正确的是：（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得①当两点A、B在平面α的同侧时，直线AB与平面α平行；②当线段AB的中点C在平面α内时，A、B到α的距离相等，此时直线AB与平面α相交；
（2）与同一直线所成角相等的两平面平行或相交；
（3）在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，作一个平行六面体ABCD-A′B′C′D′，如图所示．由直线c上一点P与直线a确定的平面β，β和直线b交于点R，由面面平行的性质和平行线的性质得到PR与直线a是相交直线，故直线PR是与a，b，c都相交的一条直线．最后根据点P的任意性，可得满足条件的直线有无数多条；
（4）△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，由三垂线定理知，PC⊥BC，此时四面体P-ABC的四个面都是直角三角形．

解答 解：（1）分两种情况
①当A、B两点在平面α的同侧时，由于A、B到α的距离相等，所以直线AB与平面α平行；
②当A、B两点在平面α的两侧时，并且AB的中点C在平面α内时，A、B到α的距离相等，此时直线AB与平面α相交．
综上所述，可得：直线与平面平行或直线与平面相交，不正确；
（2）与同一直线所成角相等的两平面平行或相交，故不正确；
（3）在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，
作一个平行六面体ABCD-A′B′C′D′，如右图所示：
在c上，即在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β，
平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，则由面面平行的性质定理，得QR∥a，
于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交，得直线PR是与a，b，c都相交的一条直线．
根据点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条，正确；
（4）如图，△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，
由三垂线定理知，PC⊥BC，四面体P-ABC的四个面都是直角三角形，正确；
故答案为：（3）（4）．

点评 本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．