Question

正三棱锥S─ABC内接于球O，其底面边长是2

3

，侧棱长是4，则球O的体积是（　　）

• A、

  64 3 π

  3

• B、

  512 3 π

  27

• C、

  512 3 π

  3

• D、

  256 3 π

  27

Answer 1

分析：判断球心的位置，利用已知条件求出球的半径，即可求解球的体积．

解答：解：画出正三棱锥S─ABC的图形，由题意可知，球心O在正三棱锥的高上，
如图，则OS=OA=OB=OC=R，
底面边长是2

3

，∴GA=

2

3

×

3

2

×2

3

=2，
∵侧棱长是4，
∴SG=

42-22

=2

3

．
在三角形OAG中，OA=

AG2+OG2

，
可得R²=（2

3

-R）²+2²，
解得R=

4 3

3

．
球O的体积是：

4

3

πR3=

4

3

π(

4 3

3

)3=

256 3 π

27

．
故选：D．

点评：本题考查球与多面体的关系，球的体积的求法，正确处理二者的关系是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．