Question

已知，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，记动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）曲线E的一条切线为l，过F₁，F₂作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F₁M|•|F₂N|的值；
（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知P点轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，，由此能求出E的方程．
（2）当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F₁M|•|F₂N|=1．当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，则由题意可知，，所以|F₁M|•|F₂N|=1．
（3）由（2）知，，由此可求出AB的最小值为3，此时斜率为．
解答：解：（1）∵
又∵
∴P点轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，，
故椭圆方程为
（2）①当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F₁M|•|F₂N|=1．
②当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
△=（8kb）²-4（1+4k²）（4b²-4）=0，
∴b²=4k²，，，，
综上所述，|F₁M|•|F₂N|=1．
（3）由（2）知，，
当且仅当，即时取等号
故AB²的最小值为3，此时斜率为
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要注意均值不等式的合理运用．