Question

设等差数列{a_n}的公差为d，点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（n∈N^*）．
（1）若a₁=-2，点（2+a₆，4b₇）在函数f（x）的图象上，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若数列{a_n}的公差不为0，且a₁=1，a₂，a₄，a₆成等比数列，求数列{

an

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）b_n=2 an，a_n=-2+（n-1）d，4×2^6d-2=2^5d-2，求出d的值，即可求解数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）根据公式性质列出数列{

an

bn

}的前n项和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，运用错位相减的方法求解．

解答： 解：（1）函数f（x）=2^x
由已知，b_n=2 an，a_n=-2+（n-1）d，
b₁=2^-2=

1

4

，a₆=5d-2，b₇=2 a7
∵点（2+a₆，4b₇）在函数f（x）的图象上，
∴2^2+5d-2=4a₇，
∴4×2^6d-2=2^5d-2，d=2，
所以a_n=2n-4，S_n=

n(-2+2n-4)

2

=n（n-3），
（2）设{a_n}的公差为d，（d≠0），
由a₁=1，a₂，a₄，a₆成等比数列，
所以（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
d=1，∴a_n=n，从而_n=2ⁿ，

an

bn

=

n

2n

，
数列{

an

bn

}的前n项和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，①

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-（

1

2

）ⁿ-

n

2n+1

，
即数列{

an

bn

}的前n项和T_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=

2n+1-2-n

2n

．

点评：本题考查了等比，等差数列的公式，性质，求和运用公式，错位相减的方法，融合了指数函数的性质，难度较大．