Question

4．对于下列命题：
①已知i是虚数单位，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1+i}{1-i}•i，（x＞0）\\{a^x}-a，（x≤0）}&{\;}\end{array}\end{array}$在R上连续，则实数a=2．
②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A₃³•A₃³
③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2$\sqrt{33}$
④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ 与ρcosθ=-1交点的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$）
⑤设n=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$4cosxdx，则二项式（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式的常数项为6
其中假命题的序号是（　　）

• A． ②⑤
• B． ②③
• C． ②
• D． ①④

Answer 1

分析 ①利用$\frac{1+i}{1-i}$•i=f（0），计算即可；
②采用插空法，依次插入即可；
③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；
④利用平方关系可得ρ=$\sqrt{2}$，代回原式可得θ=$\frac{3}{4}$π，进而可得结论；
⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．

解答 解：①$\frac{1+i}{1-i}$•i=$\frac{i-1}{1-i}$=-1，
f（0）=a⁰-a=1-a，
∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1+i}{1-i}•i，（x＞0）\\{a^x}-a，（x≤0）}&{\;}\end{array}\end{array}$在R上连续，
∴-1=1-a，即a=2，故正确；
②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），
插入第4本书，有4中方法，
再插入第5本书，有5中方法，
∴不同排法有4×5=20种，故不正确；
③由相交弦定理可得：CP=$\frac{AP×PB}{PD}$=$\frac{8×6}{4}$=12，
∴圆O的半径为：$\frac{CP+PD}{2}$=$\frac{12+4}{2}$=8，
∵MN为⊙O的切线，
∴OM²=ON²+MN²，
∴MN²=OM²-ON²
=（OC+CM）²-ON²
=（8+6）²-8²
=132，
∴MN=$\sqrt{132}$=2$\sqrt{33}$，故正确；
④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=-1，
∴sinθ=$\frac{ρ}{2}$，cosθ=-$\frac{1}{ρ}$，
∴sin²θ+cos²θ=（$\frac{ρ}{2}$）²+（$\frac{1}{ρ}$）²=1，
整理得：${ρ}^{2}+\frac{4}{{ρ}^{2}}-4=0$，
解得：ρ=$\sqrt{2}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵0≤θ＜2π，
∴θ=$\frac{3}{4}$π，
∴交点的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），故正确；
⑤∵n=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$4cosxdx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$4dsinx=4，
∴（x-$\frac{1}{x}$）⁴的展开式的常数项为${C}_{4}^{2}$=6，故正确；
综上所述，只有②是假命题，
故选：C．

点评 本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．