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已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:
AP
BP
=k|
PC
|2
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
(2)当k=2,求|2
AP
+
BP
|的最大,最小值.
分析:(1)设出P点坐标,求出向量的坐标,然后分k=1和k≠1由
AP
BP
=k|
PC
|2得到P点轨迹;
(2)把k=2代入(1)求出的轨迹方程,得到x2+y2=4x-3,利用向量的坐标运算求出|2
AP
+
BP
|,把x2+y2=4x-3整体代入后转化为求6x-y的最值,令t=6x-y,由圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径求t的范围,从而得到结论.
解答:解:(1)设P(x,y),
AP
=(x,y-1),
BP
=(x,y+1)
PC
=(1-x,-y)

当k=1时,由
AP
BP
=k|
PC
|2,得x2+y2-1=(1-x)2+y2
整理得:x=1,表示过(1,0)且平行于y轴的直线;
当k≠1时,由
AP
BP
=k|
PC
|2,得x2+y2-1=k(1-x)2+ky2
整理得:(x+
k
1-k
)2+y2
=(
1
1-k
)2
,表示以点(-
k
1-k
,0)
为圆心,以
1
|1-k|
为半径的圆.
(2)当k=2时,方程化为(x-2)2+y2=1,即x2+y2=4x-3,
∵2
AP
+
BP
=(3x,3y-1)

|2
AP
+
BP
|=
9x2+9y2-6y+1
,又x2+y2=4x-3,
|2
AP
+
BP
|=
36x-6y-26
=
6(6x-y)-26

问题归结为求6x-y的最值,令t=6x-y,
∵点P在圆(x-2)2+y2=1,圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径,
|12-t|
37
≤1
,解得12-
37
≤t≤12+
37

37
-3≤|2
AP
+
BP
|≤12+
37
点评:本题考查了平面向量的数量积运算,考查了轨迹方程的求法,考查了向量模的求法,体现了数学转化思想方法及整体运算思想方法,属有一定难度题目.
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NG
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AP
BP
=k|
PC
|2
(k∈R).
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的图形;
(2)当k=2时,求|
AP
+
BP
|
的最大值和最小值.

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