Question

4．已知关于x的函数g（x）=mx²-2mx+n（m＞0）在区间[0，3]上的最大值为4，最小值为0．设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，2]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f（|2^x-1|）+$\frac{2t}{{|{{2^x}-1}|}}$-3t=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次函数的最值，求出m，n，即可得到结论．
（2）利用参数分离法进行转化求解即可．
（3）根据函数与方程之间的关系，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）∵g（x）=mx²-2mx+n=m（x-1）²+n-m（m＞0），x∈[0，3]，
∴当x=1时，g（x）_min=g（1）=n-m=0，…（2分）
当x=3时，g（x）_max=g（3）=3m+n=4，…（4分）
解得：m=n=1，即$f（x）=\frac{g（x）}{x}=x+\frac{1}{x}-2（x≠0）$…（5分）
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，2]上恒成立，
即${2^x}+\frac{1}{2^x}-2-k•{2^x}≥0$在x∈[-1，2]上恒成立，
上式可化为$k≤{（\frac{1}{2^x}）^2}-2（\frac{1}{2^x}）+1$在x∈[-1，2]上恒成立，…（7分）
令$s=\frac{1}{2^x}$，∵x∈[-1，2]，∴$s∈[{\frac{1}{4}，2}]$，
则k≤s²-2s+1=（s-1）²在$s∈[{\frac{1}{4}，2}]$上恒成立，
又∵当s=1时，（s²-2s+1）_min=0
∴k≤0，即所求实数k的取值范围为（-∞，0]…（10分）
（3）方程$f（|{{2^x}-1}|）+\frac{2t}{{|{{2^x}-1}|}}-3t=0$，即$|{{2^x}-1}|+\frac{1}{{|{{2^x}-1}|}}-2+\frac{2t}{{|{{2^x}-1}|}}-3t=0$，
可化为：|2^x-1|²-（3t+2）|2^x-1|+（2t+1）=0（|2^x-1|≠0），
令r=|2^x-1|，则r²-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），…（12分）
若关于x的方程$f（|{{2^x}-1}|）+\frac{2t}{{|{{2^x}-1}|}}-3t=0$有三个不相等的实数根，
则关于r的方程r²-（3t+2）r+（2t+1）=0必须有两个不相等的实数根r₁和r₂，
并且0＜r₁＜1，r₂＞1或0＜r₁＜1，r₂=1，
记h（r）=r²-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），
则$\left\{\begin{array}{l}h（0）=2t+1＞0\\ h（1）=-t＜0\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}h（0）=2t+1＞0\\ h（1）=-t=0\\ 0＜\frac{3t+2}{2}＜1\end{array}\right.$②…（15分）
解①得：t＞0，
解②得：无解，
综上可知所求实数t的取值范围为（0，+∞）…（16分）

点评 本题主要考查函数解析式的求解，函数恒成立以及函数与方程的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．