Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，离心率为

2

2

，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用椭圆的性质：离心率公式，和a，bc的关系，即可得到方程；
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立椭圆方程，消去y，得（1+2k²）x²+4kx-6=0，运用韦达定理和右焦点F在圆内部，则

AF

•

BF

＜0，即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，化简即可得到k的范围．

解答： 解：（1）∵焦距为4，∴c=2，
又e=

2

2

，∴a=2

2

，b=2，
∴标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立椭圆方程，消去y，得（1+2k²）x²+4kx-6=0，
∴x₁+x₂=

-4k

1+2k2

，x₁x₂=

-6

1+2k2

，
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴

AF

•

BF

＜0，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0
∴（1+2k²）

-6

1+2k2

+（k-2）

-4k

1+2k2

+5-

8k-1

1+2k2

＜0
∴k＜

1

8

．
经检验得k＜

1

8

，时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，

1

8

）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，平面向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．