Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin²A+sin²C-sinAsinC=sin²B．
（1）求角B的大小；    
（2）求2cos²A+cos（A-C）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）运用正弦定理化角为边，再由余弦定理可得角B；
（2）运用内角和定理，将C化为A，运用二倍角的余弦公式和两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，再由正弦函数的图象和性质，即可得到范围．

解答： 解：（1）由正弦定理可得，
sin²A+sin²C-sinAsinC=sin²B即为a²+c²-ac=b²，
由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，
由0＜B＜π，则B=

π

3

；
（2）由于A+C=π-B=

2π

3

，
则2cos²A+cos（A-C）=1+cos2A+cos（2A-

2π

3

）
=1+cos2A-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A
=1+sin（2A+

π

6

），
0＜A＜

2π

3

，则

π

6

＜2A+

π

6

＜

3π

2

，
则有-1＜sin（2A+

π

6

）≤1，
即有0＜1+sin（2A+

π

6

）≤2．
则所求取值范围是（0，2]．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式，以及两角和差的正弦、余弦公式，属于中档题．