Question

已知动圆C过点A（-2，0），且与圆M：（x-2）²+y²=64相内切
（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（其中k，m∈Z）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|AM|=4＜R得点A（-2，0）在圆M内，设动圆C的半径为r，依题意得r=|CA|，且|CM|=R-r，|CM+|CA|=8＞|AM|，由定义得圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，再根据a，b，c的关系解答即可．
（2）直线l：y=kx+m与交于不同两点B，D，即x₁+x₂=同理得x₃+x₄=又因为所以（x₄-x₂ ）+（x₃-x₁）=0即x₁+x₂=x₃+x₄
，∴2km=0或又其中k，m∈Z即可求出k，m的数值．
解答：解：（1）圆M：（x-2）²+y²=64，圆心M的坐标为（2，0），半径R=8．
∵|AM|=4＜R，∴点A（-2，0）在圆M内，
设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r=|CA|，且|CM|=R-r，
即
∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，
设其方程为（a＞b＞0），则a=4，c=2，
∴b²=a²-c²=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为．
（2）由消去y 化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=．
△₁=（8km）²-4（3+4k²） （4m²-48）＞0．①
由消去y 化简整理得：（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），则x₃+x₄=．
△₂=（-2km）²+4（3-4k²） （m²+12）＞0．②
∵，∴（x₄-x₂ ）+（x₃-x₁）=0，即x₁+x₂=x₃+x₄，
∴，∴2km=0或，
解得k=0或m=0，
当k=0时，由①、②得，
∵m∈Z，∴m的值为-3，-2，-1，0，1，2，3；
当m=0时，由①、②得，
∵k∈Z，∴k=-1，0，1．
∴满足条件的直线共有9条．
点评：本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识．