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【题目】过直线上的点作椭圆的切线,切点分别为,联结

(1)当点在直线上运动时,证明直线恒过定点

(2)当时,定点平分线段

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】

.则椭圆过点的切线方程分别为.因为两切线都过点,所以,

这表明点均在直线

上.由两点决定一条直线知,式①就是直线的方程,其中满足直线的方程.

(1)当在直线上运动时,可理解为取遍一切实数,相应的.代

入式①消去

对一切恒成立.

变形可得对一切恒成立.

由此得直线恒过定点

(2)当时,由式②知.解得

代入式②得的方程为

将此方程与椭圆方程联立,消去

由此得截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标,即

代入式③可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标,即

这就是说,点平分线段

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1

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3

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A. -160 B. -120 C. 40 D. 200

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