Question

2．（普通中学做）若函数f（x）=|lnx|-ax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 法1：利用参数分离法转化a=$\frac{|lnx|}{x}$，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值，利用数形结合进行求解即可．
法2：作出函数f（x）的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：法1：函数的定义域为（0，+∞），
由f（x）=|lnx|-ax=0得|lnx|=ax，
即a=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lnx}{x}，}&{x≥1}\\{-\frac{lnx}{x}，}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$，
设g（x）=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lnx}{x}，}&{x≥1}\\{-\frac{lnx}{x}，}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$，
则当x≥1时，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，由g′（x）＞0得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得1-lnx＜0，解得x＞e，此时函数单调递减，即当x=e时，函数g（x）取得极大值g（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$．
当0＜x＜1时，g′（x）=-$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$＜0，此时函数单调递减，
作出函数g（x）的图象如图：
要使函数f（x）=|lnx|-ax有且仅有三个零点，
则等价为a=g（x）有且仅有三个不同的交点，
由图象知0＜a＜$\frac{1}{e}$．
法2：
作出函数f（x）的图象如图：
若a≤0时，方程f（x）=ax不可能有三个不相等的实数根，
则必有a＞0，
当直线y=ax与y=lnx在x＞1时相切时，
设切点坐标为（x₀，y₀），
则f′（x）=$\frac{1}{x}$，即f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
则切线方程为y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+y₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+lnx₀-1，
∵切线方程为y=ax，
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$且lnx₀-1=0，则x₀=e，
则a=$\frac{1}{e}$，
要使方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，
则0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分类法结合导数法研究函数的极值和图象是解决本题的关键．注意要利用数形结合．