Question

【题目】已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2011）+f（2012）的值为（ ）
A.﹣1
B.﹣2
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x）， ∴函数在[0，+∞）内的一个周期T=2，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣2011）+f（2012）=﹣f（2011）+f（2012）
=﹣f（2011）+f（2012）
=﹣f（1）+f（0）
又当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），
∴f（1）=log2（1+1）=1
f（0）log2（0+1）=0
因此f（﹣2011）+f（2012）
=﹣f（1）+f（0）
=﹣1+0
=﹣1．
故选A．
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质和函数的值是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．