精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
6.若对?x,y∈[0,+∞),不等式ax-2≤ex+y-2+ex-y-2恒成立,则实数a的最大值是(  )
A.3B.2C.1D.$\frac{1}{2}$

分析 当x=0时,不等式即为-2≤ey-2+e-y-2,显然成立;当x>0时,设f(x)=ex+y-2+ex-y-2+2,原不等式恒成立,即为不等式ax≤f(x)恒成立.运用基本不等式和参数分离可得a≤$\frac{2+2{e}^{x-2}}{x}$在x>0时恒成立,令g(x)=$\frac{2+2{e}^{x-2}}{x}$,通过求导判断单调性求得g(x)的最小值即可得到a的最大值.

解答 解:当x=0时,不等式即为-2≤ey-2+e-y-2,显然成立;
当x>0时,设f(x)=ex+y-2+ex-y-2+2,
不等式ax≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立,
即为不等式ax≤f(x)恒成立.
即有f(x)=ex-2(ey+e-y)+2≥ex-2•2$\sqrt{{e}^{y}•{e}^{-y}}$+2
=2+2ex-2(当且仅当y=0时,取等号),
由题意可得ax≤2+2ex-2
即有a≤$\frac{2+2{e}^{x-2}}{x}$在x>0时恒成立,
令g(x)=$\frac{2+2{e}^{x-2}}{x}$,g′(x)=$\frac{2x{e}^{x-2}-2(1+{e}^{x-2})}{{x}^{2}}$,
令g′(x)=0,即有(x-1)ex-2=1,
令h(x)=(x-1)ex-2,h′(x)=xex-2
当x>0时h(x)递增,
由于h(2)=1,即有(x-1)ex-2=1的根为2,
当x>2时,g(x)递增,0<x<2时,g(x)递减,
即有x=2时,g(x)取得最小值,为$\frac{2+2}{2}$=2,
则有a≤2.
当x=2,y=0时,a取得最大值2.
故选B.

点评 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题,运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.已知AB=2,AC=2,D为BC中点,则$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$=0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.已知曲线f(x)=ax2+blnx在x=1处的切线方程4x-2y-3=0,求a,b.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.设函数y=ln(-x2-2x+8)的定义域为A,函数y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域为B,不等式ax2+(4a-$\frac{1}{a}$)x-$\frac{4}{a}$≤0(a≠0且a∈R)的解集为C;
(1)求A∩B;
(2)若C⊆∁RA,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

1.已知x,y∈{1,2,3,4,5,6},则使log2xy=1的概率为$\frac{1}{12}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.已知函数f(x)=mx2-mx-6+m,若对于m∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

18.在某项测量中,某项指标相应的随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),若P(|ξ|<1.96)=0.950,则ξ在(-∞,1.96)内取值的概率为0.975.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.已知平面直角坐标系xOy中,动点M到定点A(1,0),B(4,0)的距离之比为$\frac{1}{2}$,设动点M的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点B作斜率为0的直线l与曲线C相交于P,Q两点;
(ⅰ)若OP⊥OQ,求直线l的方程;
(ⅱ)求三角形APQ面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0]上是单调增函数,则不等式f(x+2)-f(2x+1)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).

查看答案和解析>>

同步练习册答案