A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | $\frac{1}{2}$ |
分析 当x=0时,不等式即为-2≤ey-2+e-y-2,显然成立;当x>0时,设f(x)=ex+y-2+ex-y-2+2,原不等式恒成立,即为不等式ax≤f(x)恒成立.运用基本不等式和参数分离可得a≤$\frac{2+2{e}^{x-2}}{x}$在x>0时恒成立,令g(x)=$\frac{2+2{e}^{x-2}}{x}$,通过求导判断单调性求得g(x)的最小值即可得到a的最大值.
解答 解:当x=0时,不等式即为-2≤ey-2+e-y-2,显然成立;
当x>0时,设f(x)=ex+y-2+ex-y-2+2,
不等式ax≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立,
即为不等式ax≤f(x)恒成立.
即有f(x)=ex-2(ey+e-y)+2≥ex-2•2$\sqrt{{e}^{y}•{e}^{-y}}$+2
=2+2ex-2(当且仅当y=0时,取等号),
由题意可得ax≤2+2ex-2,
即有a≤$\frac{2+2{e}^{x-2}}{x}$在x>0时恒成立,
令g(x)=$\frac{2+2{e}^{x-2}}{x}$,g′(x)=$\frac{2x{e}^{x-2}-2(1+{e}^{x-2})}{{x}^{2}}$,
令g′(x)=0,即有(x-1)ex-2=1,
令h(x)=(x-1)ex-2,h′(x)=xex-2,
当x>0时h(x)递增,
由于h(2)=1,即有(x-1)ex-2=1的根为2,
当x>2时,g(x)递增,0<x<2时,g(x)递减,
即有x=2时,g(x)取得最小值,为$\frac{2+2}{2}$=2,
则有a≤2.
当x=2,y=0时,a取得最大值2.
故选B.
点评 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题,运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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