分析 建立如图所示的直角坐标系,设正方形的边长为1,可以得到 $\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=(λ-μ,μ),然后根据相对应的条件加以判断即可.
解答 解:由题意,设正方形的边长为1,建立坐标系如图,
则B(1,0),E(-1,1),
∴$\overrightarrow{AB}$=(1,0),$\overrightarrow{AE}$(-1,1),
∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=(λ-μ,μ),
当点P为AD中点时,
∴$\overrightarrow{AP}$=(0,$\frac{1}{2}$),
∴λ-μ=0,μ=$\frac{1}{2}$,
故λ+μ=1;故①正确,
当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1,μ=0,
∴0≤λ≤1,0≤λ+μ≤1,
当P∈BC时,有λ-μ=1,0≤μ≤1,
∴λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3,
当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1,μ=1,
∴μ≤λ≤μ+1,即1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3,
当P∈AD时,有λ-μ=0,0≤μ≤1,
∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2,
综上,0≤λ+μ≤3,
故②正确;
若存在向量$\overrightarrow{AP}$和实数x,使$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$,(y为给定的正数),
则(x,0)+($\frac{y(λ-μ)}{\sqrt{{(λ-μ)}^{2}{+μ}^{2}}}$,$\frac{yμ}{\sqrt{{(λ-μ)}^{2}{+μ}^{2}}}$)=(0,1),
即(x+$\frac{y(λ-μ)}{\sqrt{{(λ-μ)}^{2}{+μ}^{2}}}$,$\frac{yμ}{\sqrt{{(λ-μ)}^{2}{+μ}^{2}}}$)=(0,1),
∴x+$\frac{λ}{μ}$=1,与y无关,
故③错误,
故答案为:①②.
点评 本题考查向量加减的几何意义,涉及分类讨论,是易错题.
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A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{2}$ |
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A. | 4 | B. | 1 | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |
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A. | -$\frac{5}{8}$ | B. | $\frac{1}{8}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{11}{8}$ |
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