Question

【题目】已知数列{an}满足an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：an＞1；
（Ⅱ）证明： + +…+ ＜ （n≥2）．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）an+12﹣（n+1）=nan2﹣n+an﹣1， ∴（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）=（an﹣1）（nan+n+1），
由an＞0，n∈N*，
∴（n+1）（an+1+1）＞0，nan+n+1＞0，
∴an+1﹣1与an﹣1同号，
∵a1﹣1=1＞0，
∴an＞1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）an+12=nan2+an＜（n+1）an2 ，
∴an+1＜an ， 1＜an≤2，
又由题意可得an=（n+1）an+12﹣nan2 ，
∴a1=2a22﹣a12 ， a2=3a32﹣2a22 ， …，an=（n+1）an+12﹣nan2 ，
相加可得a1+a2+…+an=（n+1）an+12﹣4＜2n，
∴an+12≤ ，即an2≤ ，n≥2，
∴ ≤2（ + ）≤2（ ﹣ ）+（ ﹣ + ），n≥2，
当n=2时， = ＜ ，
当n=3时， + ≤ ＜ ＜ ，
当n≥4时， + +…+ ＜2（ + + + ）+（ + + ﹣ ）=1+ + + + + ＜ ，
从而，原命题得证
【解析】（Ⅰ）根据数列的递推关系可得（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）=（an﹣1）（nan+n+1），再根据an＞0，可得an+1﹣1与an﹣1同号，问题得以证明，（Ⅱ）先判断出1＜an≤2，再得到an2≤ ，n≥2，利用放缩法得到 ≤2（ ﹣ ）+（ ﹣ + ），再分别取n=2，3，以及n≥4即可证明．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．