Question

一辆卡车高3米，宽2米，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的2倍，若拱口宽为2a米，求使卡车通过的a的最小整数值．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，如图：则由题意可得O、A、B、D的坐标，a＞0．设抛物线的方程为 x²=-2py，则把点B的坐标代入求得p的值，可得抛物线方程为 x²=-ay．把x=1代入抛物线方程求得y=-

1

a

．要使卡车通过时，需 a-

1

a

≥3，由此解得a的范围，可得a的最小正整数值．

解答：解：以拱顶为原点、抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图：
则由题意可得O（0，0）、A（-a，-a）、B（a，-a）、C（-1，-a）、D（1，-a），a＞0．
设抛物线的方程为 x²=-2py，则把点B的坐标代入可得p=

a

2

，
∴抛物线方程为 x²=-ay．
把x=1代入抛物线方程可得 y=-

1

a

．
要使卡车通过时，需 a-

1

a

≥3，解得 a≥

3+ 13

2

，或a≤

3- 13

2

（舍去）．
故a的最小正整数为4．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，用坐标法解决几何问题，属于中档题．