Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{8}$

Answer 1

分析 由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，结合三角形内角和定理可求B=$\frac{π}{3}$，由2a，2b，2c成等比数列，得b²=ac，进而利用余弦定理得（a-c）²=0，可求A=C=B=$\frac{π}{3}$，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．

解答 解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，（1）
∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π，（2）．
由（1）（2）得B=$\frac{π}{3}$．
由2a，2b，2c成等比数列，得b²=ac，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
把B=$\frac{π}{3}$、b²=ac代入得，a²+c²-ac=ac，
即（a-c）²=0，则a=c，从而A=C=B=$\frac{π}{3}$，
∴sinAcosBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{8}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．