Question

圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），弦AB过点P，且倾斜角为α
（1）若 sinα=

4

5

，求线段AB的长；
（2）若弦AB恰被P平分，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），弦AB过点P，且倾斜角为α，sinα=

4

5

，知k=tanα=

4

3

，或k=tanα=-

4

3

，由此能求出弦长|AB|．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由弦AB恰被P（-1，2）平分，知

x1+x2=-2 y1+y2=4

，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入圆x²+y²=8，利用点差法能求出直线AB的方程．

解答：解：（1）∵圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），弦AB过点P，
且倾斜角为α，sinα=

4

5

，
∴k=tanα=

4

3

，或k=tanα=-

4

3

，
当k=

4

3

时，直线AB的方程为y-2=

4

3

(x+1)，即4x-3y+10=0，
圆心（0，0）到直线4x-3y+10=0的距离d=

|0+0+10|

16+9

=2，
圆半径r=2

2

，
则弦长|AB|=2

(2 2 )2-22

=4；
当k=-

4

3

时，直线AB的方程为y-2=-

4

3

(x+1)，即4x+3y-2=0，
圆心（0，0）到直线4x+3y-2=0的距离d=

|0+0-2|

16+9

=

2

5

，
圆半径r=2

2

，
则弦长|AB|=2

(2 2 )2-( 2 5 )2

=

28

5

．
故线段AB的长为4或

28

5

．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵弦AB恰被P（-1，2）平分，∴

x1+x2=-2 y1+y2=4

，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入圆x²+y²=8，得

x12+y12=8 x22+y22=8

，
二者相减，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴直线AB的方程为y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0．

点评：本题考查弦长公式的应用，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．