Question

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|2-2x|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x-2|+|x+3|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞6．
（2）把关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，求出函数f（x）的最小值，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）由于函数f（x）=|2-2x|+|x+3|=

-3x-1 ， x＜-3 -x+5  ，-3≤ x＜1 3x+1 ，x≥1

，故由f（x）＞6可得|2-2x|+|x+3|＞6，
故有 ①

x＜-3 2-2x-x-3＞6

； ②

-3≤x＜1 2-2x+x+3＞6

；③

x≥1 2x-2+x+3＞6

．
解①求得x＜-3；解②求得-3≤x＜-1；解③求得x＞

5

3

．
综上可得，不等式的解集为（-∞，-1）∪（

5

3

，+∞）．
（2）关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，即|2-2x|+|x+3|≤|2a-1|的解集不是空集．
由（1）可得当x=1时，函数f（x）取得最小值为4，即f（x）=|2x-2|+|x+3|≥4，则|2a-1|≥4，
解得：a≥

5

2

或a≤-

3

2

．
即a的取值范围是：{a|a≥

5

2

或a≤-

3

2

}．

点评：本题主要考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合、转化的数学思想，属中档题．